贝塞尔曲线

贝塞尔曲线（读作 [bezje]）是一种使用数学方法描述的曲线，被广泛用于计算机图形学和动画中。在矢量图中，贝塞尔曲线用于定义可无限放大的光滑曲线。

贝塞尔曲线由至少两个控制点进行描述。Web 技术中使用的是三次贝塞尔曲线，即使用四个控制点 P0、P1、P2 和 P3 描述的曲线。

在绘制二次贝塞尔曲线的过程中，需要先作两条辅助线：P0 到 P1 和 P1 到 P2；第三条辅助线从其起点稳步移动到第一辅助线上，终点在第二辅助线上。在这条辅助线上，有一个点从其起点稳步移动到其终点。这个点描述的曲线就是贝塞尔曲线。以下是一个动画示例，展示了曲线的创建过程：

阶贝塞尔曲线可如下推断。给定点，其贝塞尔曲线即

一些关于参数曲线的术语，有

又称作n阶的伯恩斯坦基底多项式，定义 = 1。

点*称作贝塞尔曲线的控制点。多边形以带有线的贝兹点连接而成，起始于并以终止，称作贝兹多边形（或控制多边形）。贝兹多边形的凸包（convex hull）包含有贝塞尔曲线。

构建贝塞尔曲线

线性贝塞尔曲线函数中的t会经过由至的所描述的曲线。例如当t=0.25时，即一条由点至至路径的四分之一处。就像由 0 至 1 的连续t，描述一条由至的直线。

为建构二次贝塞尔曲线，可以中介点Q0 和Q1 作为由 0 至 1 的t：

为建构高阶曲线，便需要相应更多的中介点。对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点Q0、Q1、Q2，和由二次曲线描述的点R0、R1 所建构：

对于四次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点Q0、Q1、Q2、Q3，由二次贝塞尔曲线描述的点R0、R1、R2，和由三次贝塞尔曲线描述的点S0、S1 所建构：

n次贝塞尔曲线可以变换为一个形状完全相同的n+1次贝塞尔曲线。这在软件只支持特定阶次的贝塞尔曲线时很有用。例如，Cairo只支持三次贝塞尔曲线，你就可以用升阶的方法在 Cairo 画出二次贝塞尔曲线。

我们利用这个特性来做升阶。我们把曲线方程式中每一项都乘上 (1 − t) 或 t，让每一项都往上升一阶。以下是将二阶升为三阶的示例

对任何的n值，我们都可以使用以下等式

式中和可以任意挑选。

因此，新的控制点为